Übungen ableitung

Schau dir dazu gleich ein paar Übungen an:

f(x) = sin(x)
f(x) = 2 • cos(x)
f(x) = -sin(x)
f(x) = sin(3x)
f(x) = x • cos(2x – 1)

Lösungen

Die Ableitungen von Sinus und Cosinus lassen sich als Kreis darstellen. B. bei der Exponentialfunktion und der Kosinusfunktion, wird das allerdings schwieriger und ungenauer.

Das ist der Fall, wenn es sich an einem Parabelpunkt befindet, dessen Tangente durch den Punkt A(-2|2) verläuft.

Setze den Funktionswert ein.

Fasse zusammen und unterscheide dabei die Variable x und den festen Wert

Setze die Koordinaten (-2|2) von A ein, damit t durch A verläuft.

Bringe die quadratische Gleichung für in die übliche Normalform.

Multipliziere auf beiden Seiten mit 4.

Setze beide Werte jeweils in ein.

Ergebnis: Der linke PKW blendet den Beobachter vom Punkt (-5|-7) aus, der rechte PKW vom Punkt (1|2) aus.

Bestätige das Rechenergebnis graphisch am folgenden Geogebra-Applet, indem du die Gleiterpunkte B und C verschiebst!

Lösungen

Die Potenzregel beschreibt, wie du einen Term mit der Form xⁿ ableitest.

Setze deshalb x = 2 in die 1. Jedoch gibt es Funktionen, bei denen du einiges bei der Ableitung beachten muss. Ableitung der Funktion gleich 0 setzen.

Ableitung | Aufgaben und Übungen

Wie bestimmt man Ableitungsfunktionen? Hochpunkt, und somit eine waagerechte Tangente.

Textaufgabe mit Ableitung

Die Funktion f(x) = -0,02x³ – 0,09x² + 1,35x + 7,5 beschreibt im Intervall [-10; 6] eine Achterbahnfahrt.

Du kannst die Ableitungsfunktion grafisch bestimmen. Dann kannst du die Potenzregel anwenden, um die Ableitung zu bilden.

Wenn es um rationale Funktionen geht, kannst du die genannten Ableitungsregeln ohne Weiteres anwenden. Ableitung dieser Funktion.

f'(x) = -2 • x + 1

Die Steigung der Tangente g(x) an einer Stelle x hat die selbe Steigung wie die Funktion f(x) an dieser Stelle.

Ableitung gleich 0:

Die Funktion f(x) hat an der Stelle x = die Steigung 0. Ableitung heraus:

f'(x) = 6x + 2

Um den Punkt zu bestimmen, an dem die Steigung = 0 ist, setzt du die 1. (2 Extremstellen von \( f(x) = 2 \) Nullstellen von \( f'(x) \)).

b) \( f(x) \) besitzt in diesem Bereich eine Nullstelle mit Wechsel von positiver zu negativer Steigung.

direkt ins Video springen
Lösung:
Ein waagerechter Achterbahnwagon befindet sich an einer Stelle der Achterbahn, an der die Steigung gleich 0 ist.

f'(x) =

f(x) = 3x⁴ – 2x³ + 8x² – 6x + 4

Da die einzelnen x-Terme mit einem Plus oder Minus verbunden sind, kannst du jede Ableitung einzeln bilden und wieder mit einem Rechenzeichen aneinanderfügen.

f'(x) = 4 • 3x^4-1 – 3 • 2x^3-1 + 2 • 8 • x^2-1 – 6 • x^1-1f'(x) = 4 • 3x³ – 3 • 2x² + 2 • 8 • x¹ – 6 • x⁰f'(x) = 12x³ – 6x² + 16x – 6
Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Ableiten Übungen mit Sinus und Cosinus

Auch Sinus und Cosinus kannst du ableiten.

Ableiten Aufgaben
Lösungen
Aufgabe 1
a)
b)
c)
d)
Aufgabe 2
a) \( f'(x) = 3x^2 \)
b) \( f'(x) = -2x - 2 \)
c) \( f'(x) = 1 \)
d) \( f'(x) = -2x \)
e) \( f'(x) = 15x^4 - 6x^2 \)
f) \( f'(x) = 6x^2 + 0.4x - 0.5 \)
g) \( f'(x) = 2x \)
h) \( f'(x) = 3x^2 - 2x + 5 \)
i) \( f'(x) = 1 \)
j) \( f'(x) = -2x^{-3} + 4x + 4 \)
k) \( f'(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{4}{3}x \)
l) \( f'(x) = 4x^4 - \frac{8}{3}x + \frac{9}{8}x^2 - 3 \)
Aufgabe 3
a) \( u(x) = x^3 \rightarrow u'(x) = 3x^2 \)
\( v(x) = x + 4 \rightarrow v'(x) = 1 \)
\( = f'(x) = 3(x + 4)^2 \)
b) \( u(x) = -x^3 \rightarrow u'(x) = -3x^2 \)
\( v(x) = x^2 + 4x \rightarrow v'(x) = 2x + 4 \)
\( = f'(x) = (-6x - 12) \cdot (x^2 + 4x)^2 \)
c) \( u(x) = e^x \rightarrow u'(x) = e^x \)
\( v(x) = 3x - 2 \rightarrow v'(x) = 3 \)
\( = f'(x) = 3e^{3x-2} \)
d) \( u(x) = 4e^x \rightarrow u'(x) = 4e^x \)
\( v(x) = x \rightarrow v'(x) = 1 \)
\( = f'(x) = 4e^x \)
e) \( u(x) = -e^x \rightarrow u'(x) = -e^x \)
\( v(x) = -x^2 \rightarrow v'(x) = -2x \)
\( = f'(x) = 2xe^{-x^2} \)
f) \( u(x) = x^2 \rightarrow u'(x) = 2x \)
\( v(x) = e^{3x+2} \rightarrow v'(x) = 3e^{3x+2} \)
\( = f'(x) = 6e^{3x+2} \cdot (e^{3x+2} - 3) \)
g) \( u(x) = e^x \rightarrow u'(x) = e^x \)
\( v(x) = -x \rightarrow v'(x) = -1 \)
\( = f'(x) = -e^{-x} \)
h) \( u(x) = 5x^{-2} \rightarrow u'(x) = -10x^{-3} \)
\( v(x) = x^2 - 3 \rightarrow v'(x) = 2x \)
\( = f'(x) = -20x \cdot (x^2 - 3)^{-3} \)
i) \( u(x) = x^3 \rightarrow u'(x) = 3x^2 \)
\( v(x) = 4 - 2x \rightarrow v'(x) = -2 \)
\( = f'(x) = -6(4 - 2x)^2 \)
j) \( u(x) = -x^3 \rightarrow u'(x) = -3x^2 \)
\( v(x) = x^3 + 2 \rightarrow v'(x) = 3x^2 \)
\( = f'(x) = -3(x^3 + 2)^2 \cdot 3x^2 \)
k) \( u(x) = e^x \rightarrow u'(x) = e^x \)
\( v(x) = x - 2 \rightarrow v'(x) = 1 \)
\( = f'(x) = e^{x-2} \)
l) \( u(x) = -e^x \rightarrow u'(x) = -e^x \)
\( v(x) = x + 4 \rightarrow v'(x) = 1 \)
\( = f'(x) = -e^{x+4} \)
Aufgabe 4
a) \( u(x) = x \rightarrow u'(x) = 1 \)
\( v(x) = e^x \rightarrow v'(x) = e^x \)
\( = f'(x) = e^x (x + 1) \)
b) \( u(x) = e^{-x-1} \rightarrow u'(x) = -e^{-x-1} \)
\( v(x) = 2x \rightarrow v'(x) = 2 \)
\( = f'(x) = e^{-x-1} (2 - 2x) \)
c) \( u(x) = -x \rightarrow u'(x) = -1 \)
\( v(x) = (x + 3)^3 \rightarrow v'(x) = 3(x + 3)^2 \)
\( = f'(x) = -3x(x + 3)^2 - (x + 3)^3 \)
d) \( u(x) = 5x \rightarrow u'(x) = 5 \)
\( v(x) = e^{0.1x^2} \rightarrow v'(x) = 0.2x \cdot e^{0.1x^2} \)
\( = f'(x) = e^{0.1x^2} \cdot (x^2 + 5) \)
e) \( u(x) = -e^{3x-4} \rightarrow u'(x) = -3e^{3x-4} \)
\( v(x) = -3x \rightarrow v'(x) = -3 \)
\( = f'(x) = e^{3x-4} \cdot (3 + 9x) \)
f) \( u(x) = e^{6x+4} \rightarrow u'(x) = 6e^{6x+4} \)
\( v(x) = 2x \rightarrow v'(x) = 2 \)
\( = f'(x) = e^{6x+4} \cdot (2 + 12x) \)
g) \( u(x) = e^{2x-2} \rightarrow u'(x) = 2e^{2x-2} \)
\( v(x) = 5x^3 \rightarrow v'(x) = 15x^2 \)
\( = f'(x) = e^{2x-2} \cdot (15x^2 + 10x^3) \)
h) \( u(x) = \frac{1}{2}x \rightarrow u'(x) = \frac{1}{2} \)
\( v(x) = e^{-0.2x} \rightarrow v'(x) = -0.2e^{-0.2x} \)
\( = f'(x) = e^{-0.2x}(\frac{1}{2} - 0.1x) \)
Aufgabe 5
a) \( z(x) = 5 \rightarrow z'(x) = 0 \)
\( n(x) = x \rightarrow n'(x) = 1 \)
\( = f'(x) = -\frac{5}{x^2} \)
b) \( z(x) = 2x \rightarrow z'(x) = 2 \)
\( n(x) = x - 3 \rightarrow n'(x) = 1 \)
\( = f'(x) = \frac{-6}{(x-3)^2} \)
c) \( z(x) = 5 \rightarrow z'(x) = 0 \)
\( n(x) = x - 2 \rightarrow n'(x) = 1 \)
\( = f'(x) = \frac{-5}{(x-2)^2} \)
d) \( z(x) = 1 \rightarrow z'(x) = 0 \)
\( n(x) = x - 1 \rightarrow n'(x) = 1 \)
\( = f'(x) = \frac{-1}{(x-1)^2} \)
e) \( z(x) = 100 \rightarrow z'(x) = 0 \)
\( n(x) = 1 - 15e^{-0.5x} \rightarrow n'(x) = 7.5e^{-0.5x} \)
\( = f'(x) = \frac{-750e^{-0.5x}}{(1-15e^{-0.5x})^2} \)
f) \( z(x) = 10 \rightarrow z'(x) = 0 \)
\( n(x) = 1 + 5e^{-2x} \rightarrow n'(x) = -10e^{-2x} \)
\( = f'(x) = \frac{100e^{-2x}}{(1+5e^{-2x})^2} \)
Aufgabe 6
a) \( f(x) \) muss die Hyperbel sein.

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